Graniastosłupy – pole, objętość, siatki.

Graniastosłupy to bryły, których podstawami są dwa identyczne wielokąty (równoległe do siebie), a ścianami bocznymi prostokąty. Spotykasz je codziennie – pudełka, akwaria, pryzmy. Zgodnie z podstawą programową CKE w klasie 7 musisz umieć rozpoznać rodzaje graniastosłupów, narysować ich siatki oraz obliczyć pole powierzchni i objętość. Ten przewodnik prowadzi przez to wszystko z konkretnymi wzorami i przykładami liczbowymi.

Rodzaje graniastosłupów

Najczęściej spotykane rodzaje:

• Graniastosłup trójkątny – podstawami są trójkąty, ma 5 ścian (2 podstawy + 3 boczne) i 9 krawędzi;
• Graniastosłup czworokątny – podstawami są czworokąty, ma 6 ścian i 12 krawędzi;
• Prostopadłościan – szczególny graniastosłup czworokątny, którego wszystkie ściany są prostokątami;
• Sześcian – szczególny prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe (wszystkie ściany to kwadraty);
• Graniastosłup prawidłowy – ma w podstawie wielokąt foremny (np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny).

Wszystkie graniastosłupy, którymi zajmujemy się w klasie 7, są proste – ich ściany boczne są prostopadłe do podstaw.

Siatki graniastosłupów

Przykład: siatka graniastosłupa trójkątnego składa się z:

• 2 trójkątów (podstawy),
• 3 prostokątów (ściany boczne, jedna na każdy bok trójkąta).

Prostopadłościan ma siatkę z 6 prostokątów (3 pary identycznych). Sześcian – z 6 identycznych kwadratów (najczęściej rozłożonych w kształt krzyża).

Umiejętność rysowania siatki bardzo pomaga przy liczeniu pola powierzchni – widzisz wtedy wszystkie ściany "płasko" i nie zapomnisz o żadnej.

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni bocznej można wyliczyć też prościej: $P_b = O_p \cdot H$, gdzie $O_p$ to obwód podstawy, a $H$ – wysokość graniastosłupa. Stąd:

$$P = 2 \cdot P_p + O_p \cdot H$$

Przykład. Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $4 \times 3 \times 5$ cm.

Wzór dla prostopadłościanu: $P = 2(ab + bc + ac)$, gdzie $a, b, c$ to długości krawędzi.

$P = 2(4 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2 \cdot 47 = 94 \text{ cm}^2$.

Wzór na objętość graniastosłupa

To wzór uniwersalny – działa dla każdego graniastosłupa, niezależnie od kształtu podstawy. Trzeba tylko prawidłowo policzyć pole podstawy:

• podstawa to prostokąt → $P_p = a \cdot b$,
• podstawa to trójkąt → $P_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$,
• podstawa to kwadrat → $P_p = a^2$,
• podstawa to trapez → $P_p = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$.

Przykład. Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $80 \times 40 \times 50$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?

$V = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160000 \text{ cm}^3$.

Pamiętamy: $1 \text{ litr} = 1000 \text{ cm}^3$, więc $V = 160$ litrów.

Typowe zadania krok po kroku

Zadanie 1. Oblicz objętość graniastosłupa trójkątnego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm.

Pole podstawy (trójkąt prostokątny): $P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2$.

Objętość: $V = P_p \cdot H = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}^3$.

Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni sześcianu o krawędzi 5 cm.

Sześcian ma 6 identycznych kwadratowych ścian. Pole jednej: $5^2 = 25 \text{ cm}^2$. Pole całkowite: $6 \cdot 25 = 150 \text{ cm}^2$.

Zadanie 3. Prostopadłościan ma pole podstawy $24 \text{ cm}^2$ i wysokość 7 cm. Oblicz jego objętość.

$V = P_p \cdot H = 24 \cdot 7 = 168 \text{ cm}^3$.

Sprawdź swój stan wiedzy

FAQ: najczęstsze pytania