Logarytm to operacja odwrotna do potęgowania. Pytanie "do której potęgi trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $b$?" matematycznie zapisujemy jako $\log_a b$. Logarytmy pojawiają się w zadaniach z funkcji wykładniczych, równań i nierówności, a także w fizyce, chemii i informatyce. W tym przewodniku znajdziesz precyzyjną definicję, pięć podstawowych wzorów, różnicę między logarytmem naturalnym a dziesiętnym oraz przykłady krok po kroku.
Definicja logarytmu
Czytamy: "logarytm z $b$ przy podstawie $a$".
Przykłady:
- $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$;
- $\log_3 9 = 2$, bo $3^2 = 9$;
- $\log_5 1 = 0$, bo $5^0 = 1$;
- $\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$.
Warunki istnienia logarytmu: podstawa $a$ musi być dodatnia i różna od 1; liczba logarytmowana $b$ musi być dodatnia.
Pięć podstawowych wzorów na logarytmy
- Logarytm jedynki: $\log_a 1 = 0$ (bo $a^0 = 1$).
- Logarytm podstawy: $\log_a a = 1$ (bo $a^1 = a$).
- Logarytm iloczynu: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$.
- Logarytm ilorazu: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$.
- Logarytm potęgi: $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$.
Dodatkowo, wzór na zmianę podstawy: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ – przydaje się na kalkulatorze, gdzie zwykle dostępne są tylko $\log$ (podstawa 10) i $\ln$ (podstawa $e$).
Logarytm naturalny i dziesiętny
Logarytm dziesiętny pojawia się w skalach pH, decybeli (głośność), Richtera (trzęsienia ziemi). Logarytm naturalny występuje wszędzie tam, gdzie pojawia się liczba $e$ – w funkcjach wykładniczych, statystyce, analizie matematycznej.
Przykłady:
- $\log 100 = 2$ (bo $10^2 = 100$),
- $\log 1000 = 3$ (bo $10^3 = 1000$),
- $\ln e = 1$,
- $\ln e^2 = 2$.
Przykłady krok po kroku
Przykład 1. Oblicz $\log_2 32$.
Pytamy: do której potęgi podnieść 2, aby otrzymać 32?
$2^5 = 32$, więc $\log_2 32 = 5$.
Przykład 2. Oblicz $\log_3 81 - \log_3 27$.
$\log_3 81 = 4$ (bo $3^4 = 81$), $\log_3 27 = 3$ (bo $3^3 = 27$).
$\log_3 81 - \log_3 27 = 4 - 3 = 1$.
Można też wykorzystać wzór na logarytm ilorazu: $\log_3 \frac{81}{27} = \log_3 3 = 1$.
Przykład 3. Uprość: $\log_2 6 + \log_2 \frac{4}{3}$.
Stosujemy wzór na logarytm iloczynu:
$\log_2 6 + \log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left( 6 \cdot \frac{4}{3} \right) = \log_2 8 = 3$.
Przykład 4. Oblicz $\log_2 \sqrt{32}$.
$\sqrt{32} = 32^{1/2}$, więc używamy wzoru na logarytm potęgi:
$\log_2 32^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 32 = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2{,}5$.
Sprawdź swój stan wiedzy
Rozwiąż 3 zadania. Po każdym pokażemy rozwiązanie krok po kroku.
Oblicz $\log_2 16$
Krok 1. Z definicji: $\log_2 16 = x \iff 2^x = 16$.
Krok 2. Szukamy potęgi dwójki dającej 16:
$$2^1 = 2,\ 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 2^4 = 16 \checkmark$$
Krok 3. Czyli $x = 4$.
Odpowiedź: $\log_2 16 = 4$.
FAQ: najczęstsze pytania
Dlaczego podstawa logarytmu nie może być równa 1?
Bo $1^x = 1$ dla każdego $x$ – wtedy $\log_1 b$ nie miałoby jednoznacznej wartości (każde $x$ "pasowałoby" przy $b = 1$ i żadne przy $b \neq 1$). Wykluczamy też $a \leq 0$, bo wtedy potęgowanie nie jest dobrze określone.
Po co w ogóle logarytmy, skoro w szkole rzadko ich używamy?
Logarytmy są kluczowe w fizyce (skale dB, Richter, pH), chemii, biologii (modele wzrostu populacji), informatyce (złożoność obliczeniowa O(log n)) i finansach (procent składany). W matematyce upraszczają też pracę z funkcjami wykładniczymi.
Czym różni się $\log$ od $\ln$?
$\log$ to logarytm o podstawie 10 (dziesiętny), $\ln$ to logarytm o podstawie $e \approx 2{,}718$ (naturalny). W matematyce wyższej najczęściej używa się $\ln$, w technice $\log$.
Jak rozwiązywać równania logarytmiczne na maturze?
Zwykle trzeba: 1) wyznaczyć dziedzinę (wszystkie liczby logarytmowane > 0), 2) zastosować wzory na logarytmy, by sprowadzić równanie do postaci $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, 3) rozwiązać $f(x) = g(x)$, 4) sprawdzić, czy wynik mieści się w dziedzinie.
🚀 Wypróbuj KumamTo za darmo
Polska aplikacja do nauki matematyki dla klas 7-8 i liceum, w jednej cenie od podstawówki po maturę.
- Wideo-lekcje dopasowane do Twojego podręcznika
- Nieograniczona liczba zadań i pytań na forum
- Sprawdzian do każdego działu
- Streaki, punkty i ligi – nauka która wciąga
- Kursy powtórkowe: egzamin ósmoklasisty i matura
Plany: 3 dni za 15 zł · miesięczny 79 zł · roczny 59 zł/mies. Anulujesz kiedy chcesz.