Równanie kwadratowe to jedno z najważniejszych równań w całej podstawie programowej maturalnej CKE. Ma postać $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a \neq 0$. Liczba rozwiązań zależy od wyróżnika, zwanego deltą: $\Delta = b^2 - 4ac$. Ten przewodnik przeprowadzi Cię przez wzór na deltę, trzy przypadki rozwiązań (dwa miejsca zerowe, jedno, lub brak), wzory na pierwiastki, postać iloczynową oraz typowe zadania krok po kroku.
Równanie kwadratowe i delta – najważniejsze wzory
| Postać ogólna równania | ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 |
| Delta (wyróżnik) | Δ = b2 − 4ac |
| Δ > 0: dwa rozwiązania | x1 = (−b − √Δ) / (2a), x2 = (−b + √Δ) / (2a) |
| Δ = 0: jedno rozwiązanie | x0 = −b / (2a) |
| Δ < 0 | brak rozwiązań rzeczywistych |
| Postać iloczynowa (Δ ≥ 0) | a(x − x1)(x − x2) |
| Postać kanoniczna | a(x − p)2 + q, p = −b / (2a), q = −Δ / (4a) |
| Wzory Viète’a (Δ ≥ 0) | x1 + x2 = −b : a, x1 · x2 = c : a |
Wyróżnik funkcji kwadratowej to właśnie delta (Δ): mówi, ile miejsc zerowych ma parabola. Niżej wszystko krok po kroku, z przykładami.
Postać ogólna równania kwadratowego
Przykłady równań kwadratowych:
- $x^2 - 5x + 6 = 0$ – tu $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$;
- $2x^2 + 3x - 1 = 0$ – tu $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$;
- $x^2 - 9 = 0$ – tu $a = 1$, $b = 0$, $c = -9$ (równanie niezupełne, bo $b = 0$).
Co to jest delta i jak ją liczyć?
Przykład: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ mamy $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$, więc:
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$
Uwaga na znaki! $(-5)^2 = 25$, a nie $-25$. Najczęstszy błąd przy liczeniu delty to mylenie znaków.
Trzy przypadki: delta dodatnia, zerowa, ujemna
- $\Delta > 0$ → dwa różne rozwiązania (dwa miejsca zerowe),
- $\Delta = 0$ → jedno rozwiązanie podwójne (jedno miejsce zerowe),
- $\Delta < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych.
Wzory na pierwiastki (gdy $\Delta \geq 0$):
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają tę samą wartość: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Przykłady krok po kroku
Przykład 1 (Δ > 0). Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 = 0$.
$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ → dwa rozwiązania.
$\sqrt{\Delta} = 1$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.
Odpowiedź: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Przykład 2 (Δ = 0). Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 = 0$.
$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ → jedno rozwiązanie podwójne.
$x_0 = \frac{6}{2} = 3$.
Odpowiedź: $x = 3$ (rozwiązanie podwójne).
Przykład 3 (Δ < 0). Rozwiąż $x^2 + 2x + 5 = 0$.
$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.
$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych.
Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Postać iloczynowa
Przykład: $x^2 - 5x + 6$ ma pierwiastki $2$ i $3$, więc:
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$
Postać iloczynowa jest przydatna m.in. przy rysowaniu paraboli (od razu widać miejsca zerowe) i rozwiązywaniu nierówności kwadratowych.
Sprawdź swój stan wiedzy
Rozwiąż 3 zadania. Po każdym pokażemy rozwiązanie krok po kroku.
Oblicz deltę dla równania $x^2 - 4x + 3 = 0$
Krok 1. Odczytujemy współczynniki: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.
Krok 2. Wzór na deltę: $\Delta = b^2 - 4ac$.
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$
Odpowiedź: $\Delta = 4$. Uwaga na znaki: $(-4)^2 = 16$, a nie $-16$.
FAQ: najczęstsze pytania
Czy mogę rozwiązać każde równanie kwadratowe wzorem na deltę?
Tak, wzór na deltę działa dla każdego równania $ax^2 + bx + c = 0$ z $a \neq 0$. Jednak dla równań niezupełnych (gdy $b = 0$ lub $c = 0$) szybciej rozwiązuje się je bez delty.
Co jeśli przy obliczaniu delty wyjdzie liczba ujemna?
Gdy $\Delta < 0$, równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. W szkole średniej to ostateczna odpowiedź. Na studiach poznasz liczby zespolone, w których takie równania też mają rozwiązania.
Czy zawsze muszę liczyć $\sqrt{\Delta}$?
Tak, jeśli używasz wzoru na pierwiastki. Jeśli $\Delta$ nie jest "ładnym" pełnym kwadratem (np. $\Delta = 5$), zostaw odpowiedź w postaci $\frac{-b \pm \sqrt{5}}{2a}$ – tak jest poprawnie.
Czemu w $\Delta = 0$ mówimy "rozwiązanie podwójne"?
Bo w postaci iloczynowej pojawia się czynnik $(x - x_0)^2$ – pierwiastek występuje "dwa razy". W praktyce daje to jedną wartość $x$, ale matematycznie liczy się ją podwójnie.
🚀 Wypróbuj KumamTo za darmo
Polska aplikacja do nauki matematyki dla klas 5-8 i liceum, w jednej cenie od podstawówki po maturę.
- Wideo-lekcje dopasowane do Twojego podręcznika
- Nieograniczona liczba zadań i pytań na forum
- Sprawdzian do każdego działu
- Streaki, punkty i ligi – nauka która wciąga
- Kursy powtórkowe: egzamin ósmoklasisty i matura
Plany: 3 dni za 39 zł · miesięczny 79 zł · roczny 59 zł/mies. Anulujesz kiedy chcesz.