Równanie kwadratowe to jedno z najważniejszych równań w całej podstawie programowej maturalnej CKE. Ma postać $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a \neq 0$. Liczba rozwiązań zależy od wyróżnika, zwanego deltą: $\Delta = b^2 - 4ac$. Ten przewodnik przeprowadzi Cię przez wzór na deltę, trzy przypadki rozwiązań (dwa miejsca zerowe, jedno, lub brak), wzory na pierwiastki, postać iloczynową oraz typowe zadania krok po kroku.
Postać ogólna równania kwadratowego
Przykłady równań kwadratowych:
- $x^2 - 5x + 6 = 0$ – tu $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$;
- $2x^2 + 3x - 1 = 0$ – tu $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$;
- $x^2 - 9 = 0$ – tu $a = 1$, $b = 0$, $c = -9$ (równanie niezupełne, bo $b = 0$).
Co to jest delta i jak ją liczyć?
Przykład: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ mamy $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$, więc:
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$
Uwaga na znaki! $(-5)^2 = 25$, a nie $-25$. Najczęstszy błąd przy liczeniu delty to mylenie znaków.
Trzy przypadki: delta dodatnia, zerowa, ujemna
- $\Delta > 0$ → dwa różne rozwiązania (dwa miejsca zerowe),
- $\Delta = 0$ → jedno rozwiązanie podwójne (jedno miejsce zerowe),
- $\Delta < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych.
Wzory na pierwiastki (gdy $\Delta \geq 0$):
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają tę samą wartość: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Przykłady krok po kroku
Przykład 1 (Δ > 0). Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 = 0$.
$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ → dwa rozwiązania.
$\sqrt{\Delta} = 1$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.
Odpowiedź: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Przykład 2 (Δ = 0). Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 = 0$.
$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ → jedno rozwiązanie podwójne.
$x_0 = \frac{6}{2} = 3$.
Odpowiedź: $x = 3$ (rozwiązanie podwójne).
Przykład 3 (Δ < 0). Rozwiąż $x^2 + 2x + 5 = 0$.
$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.
$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych.
Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Postać iloczynowa
Przykład: $x^2 - 5x + 6$ ma pierwiastki $2$ i $3$, więc:
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$
Postać iloczynowa jest przydatna m.in. przy rysowaniu paraboli (od razu widać miejsca zerowe) i rozwiązywaniu nierówności kwadratowych.
Sprawdź swój stan wiedzy
Rozwiąż 3 zadania. Po każdym pokażemy rozwiązanie krok po kroku.
Oblicz deltę dla równania $x^2 - 4x + 3 = 0$
Krok 1. Odczytujemy współczynniki: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.
Krok 2. Wzór na deltę: $\Delta = b^2 - 4ac$.
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$
Odpowiedź: $\Delta = 4$. Uwaga na znaki: $(-4)^2 = 16$, a nie $-16$.
FAQ: najczęstsze pytania
Czy mogę rozwiązać każde równanie kwadratowe wzorem na deltę?
Tak, wzór na deltę działa dla każdego równania $ax^2 + bx + c = 0$ z $a \neq 0$. Jednak dla równań niezupełnych (gdy $b = 0$ lub $c = 0$) szybciej rozwiązuje się je bez delty.
Co jeśli przy obliczaniu delty wyjdzie liczba ujemna?
Gdy $\Delta < 0$, równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. W szkole średniej to ostateczna odpowiedź. Na studiach poznasz liczby zespolone, w których takie równania też mają rozwiązania.
Czy zawsze muszę liczyć $\sqrt{\Delta}$?
Tak, jeśli używasz wzoru na pierwiastki. Jeśli $\Delta$ nie jest "ładnym" pełnym kwadratem (np. $\Delta = 5$), zostaw odpowiedź w postaci $\frac{-b \pm \sqrt{5}}{2a}$ – tak jest poprawnie.
Czemu w $\Delta = 0$ mówimy "rozwiązanie podwójne"?
Bo w postaci iloczynowej pojawia się czynnik $(x - x_0)^2$ – pierwiastek występuje "dwa razy". W praktyce daje to jedną wartość $x$, ale matematycznie liczy się ją podwójnie.
🚀 Wypróbuj KumamTo za darmo
Polska aplikacja do nauki matematyki dla klas 7-8 i liceum, w jednej cenie od podstawówki po maturę.
- Wideo-lekcje dopasowane do Twojego podręcznika
- Nieograniczona liczba zadań i pytań na forum
- Sprawdzian do każdego działu
- Streaki, punkty i ligi – nauka która wciąga
- Kursy powtórkowe: egzamin ósmoklasisty i matura
Plany: 3 dni za 15 zł · miesięczny 79 zł · roczny 59 zł/mies. Anulujesz kiedy chcesz.