Twierdzenie Pitagorasa – kompletny przewodnik.

Twierdzenie Pitagorasa to fundament geometrii klasy 7. Mówi ono, że w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej (najdłuższego boku, leżącego naprzeciw kąta prostego) jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. Wzór: $a^2 + b^2 = c^2$. Ten przewodnik prowadzi krok po kroku przez wzór, intuicję geometryczną, trójki pitagorejskie, twierdzenie odwrotne oraz cztery klasyczne typy zadań (drabina, telewizor, przekątna prostokąta, przekątna kwadratu) z pełnymi rozwiązaniami.

Wzór twierdzenia Pitagorasa

Intuicyjnie: jeśli na każdym boku trójkąta prostokątnego "postawisz" kwadrat, to pole kwadratu na przeciwprostokątnej będzie równe sumie pól kwadratów na obu przyprostokątnych. Stąd nazwa "kwadrat długości".

Przykład liczbowy: jeżeli $a = 3$, $b = 4$, to:

$$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5$$

To słynna trójka (3, 4, 5) – najczęściej używany przykład w szkole.

Kiedy używać twierdzenia Pitagorasa?

Typowe sytuacje, w których stosujemy wzór:

• obliczenie przekątnej prostokąta lub kwadratu,
• obliczenie wysokości trójkąta równobocznego,
• zadania z drabiną opartą o ścianę (drabina + ściana + podłoga to klasyczny trójkąt prostokątny),
• obliczenie odległości na siatce współrzędnych między dwoma punktami,
• przekątna ekranu telewizora (zadania życiowe).

Trójki pitagorejskie – warto znać na pamięć

Najczęściej spotykane trójki to:

• (3, 4, 5) – i ich wielokrotności: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25);
• (5, 12, 13) – druga "klasyka";
• (8, 15, 17);
• (7, 24, 25).

Sprawdzenie dla (5, 12, 13): $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓

Jeśli w zadaniu widzisz dwie liczby z którejś trójki, jest duża szansa, że trzecia liczba to właśnie brakująca długość boku.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątny – wystarczy podstawić do wzoru.

Przykład: czy trójkąt o bokach 6, 8, 10 jest prostokątny? Sprawdzamy: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓ – tak, jest prostokątny.

Przykład: czy trójkąt 4, 5, 7 jest prostokątny? $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 49 = 7^2$ – nie, nie jest prostokątny.

Klasyczne zadania – krok po kroku

Zadanie 1 (drabina). Drabina długości 5 m jest oparta o ścianę. Stopa drabiny stoi 3 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?

Drabina, ściana i ziemia tworzą trójkąt prostokątny. Drabina to przeciwprostokątna ($c = 5$), odległość od ściany to jedna przyprostokątna ($a = 3$). Szukamy drugiej przyprostokątnej $b$:

$$3^2 + b^2 = 5^2 \implies b^2 = 25 - 9 = 16 \implies b = 4$$

Odpowiedź: drabina dotyka ściany na wysokości 4 m.

Zadanie 2 (przekątna prostokąta). Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach 8 cm i 6 cm.

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta to przyprostokątne, przekątna to przeciwprostokątna:

$$d^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies d = 10 \text{ cm}$$

Odpowiedź: przekątna ma 10 cm.

Zadanie 3 (przekątna kwadratu). Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 5 cm.

Przekątna kwadratu o boku $a$ to $d = a\sqrt{2}$ (wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 + a^2 = d^2$, czyli $d^2 = 2a^2$).

$$d = 5\sqrt{2} \text{ cm} \approx 7{,}07 \text{ cm}$$

Odpowiedź: przekątna ma $5\sqrt{2}$ cm (około 7,07 cm).

Zadanie 4 (telewizor). Telewizor reklamowany jako "50 cali" ma przekątną 50 cali ≈ 127 cm. Jaką ma wysokość, jeśli proporcje ekranu to 16:9?

Boki ekranu mają się jak 16 : 9, więc można zapisać $a = 16x$ i $b = 9x$ dla pewnego $x > 0$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$(16x)^2 + (9x)^2 = 127^2$$ $$256x^2 + 81x^2 = 16129$$ $$337x^2 = 16129 \implies x^2 \approx 47{,}86 \implies x \approx 6{,}92$$

Wysokość: $b = 9 \cdot 6{,}92 \approx 62{,}3$ cm; szerokość: $a = 16 \cdot 6{,}92 \approx 110{,}7$ cm.

Odpowiedź: wysokość telewizora wynosi około 62 cm.

Sprawdź swój stan wiedzy

FAQ: najczęstsze pytania