Funkcja liniowa. Wzór, wykres, zadania.

Czym jest funkcja liniowa?

Funkcja liniowa to funkcja zapisana wzorem y = ax + b, gdzie a i b to dowolne liczby rzeczywiste. Wykres takiej funkcji jest zawsze linią prostą. Pojawia się od klasy 7 podstawówki aż po maturę.

Spójrz na przykład z życia: taksówka kosztuje 10 zł za start + 3 zł za kilometr. Jeśli przejedziesz x kilometrów, zapłacisz:

y = 3x + 10

To jest funkcja liniowa. Współczynnik a = 3 mówi, ile rośnie cena za każdy kolejny km. Wyraz wolny b = 10 to opłata startowa – to, ile zapłacisz nawet przy x = 0.

Najprostsze przykłady funkcji liniowych

• y = 2x – tutaj a = 2, b = 0. Wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.
• y = -x + 5 – tutaj a = -1, b = 5. Funkcja malejąca.
• y = 7 – to też funkcja liniowa! Tutaj a = 0, b = 7. Wykres to pozioma linia.

Współczynnik kierunkowy a – co mówi?

Współczynnik a mówi, jak stromo rośnie lub maleje wykres. Konkretnie: o ile rośnie y, gdy x wzrasta o 1. To kluczowy parametr funkcji liniowej.

Trzy przypadki: a > 0, a < 0, a = 0

Im większe |a|, tym stromiej

Porównaj trzy funkcje:

• y = x (a = 1) – wykres pod kątem 45°
• y = 3x (a = 3) – wykres znacznie bardziej stromy, rośnie szybciej
• y = 0,2x (a = 0,2) – wykres prawie poziomy, rośnie wolno

Im większa wartość bezwzględna z a, tym wykres jest bardziej stromy.

Wyraz wolny b – przecięcie z osią Y

Wyraz wolny b mówi nam, gdzie wykres funkcji przecina oś Y. To wartość y, gdy x = 0. Łatwo to sprawdzić: podstawiając x = 0 do wzoru y = ax + b dostajemy y = b.

Przykład

Funkcja y = 2x - 4:

• Tutaj b = -4
• Sprawdźmy: dla x = 0 mamy y = 2 · 0 - 4 = -4 ✓
• Wykres przecina oś Y w punkcie (0, -4)

Co mówi znak b?

• b > 0 – wykres przecina oś Y powyżej punktu (0,0)
• b < 0 – wykres przecina oś Y poniżej punktu (0,0)
• b = 0 – wykres przechodzi przez początek układu (przez (0,0))

Funkcja postaci y = ax (czyli z b = 0) nazywa się funkcją proporcjonalności prostej.

Miejsce zerowe – gdzie wykres przecina oś X

Miejsce zerowe to x, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Inaczej: punkt, w którym wykres przecina oś X.

Jak je obliczyć?

Wystarczy rozwiązać równanie ax + b = 0:

1. Zacznij od wzoru: ax + b = 0
2. Przenieś b na drugą stronę: ax = -b
3. Podziel przez a: x = -b/a

Przykłady

Przykład 1: y = 2x - 6

Tutaj a = 2, b = -6. Liczymy: x = -(-6)/2 = 6/2 = 3. Miejsce zerowe: x = 3.

Sprawdzenie: y = 2 · 3 - 6 = 0 ✓

Przykład 2: y = -x + 4

Tutaj a = -1, b = 4. Liczymy: x = -4/(-1) = 4. Miejsce zerowe: x = 4.

Wykres funkcji liniowej krok po kroku

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. A żeby narysować prostą, potrzebujemy tylko dwóch punktów. Reszta jest prosta.

Algorytm rysowania wykresu

1. Wybierz dwie wartości x – najlepiej x = 0 i x = 1 (lub miejsce zerowe).
2. Oblicz odpowiadające im y, podstawiając do wzoru.
3. Zaznacz oba punkty w układzie współrzędnych.
4. Połącz je linią prostą i przedłuż w obie strony.
5. Sprawdź trzecim punktem – wszystkie powinny leżeć na jednej prostej.

Przykład: y = 2x - 1

Wybieramy dwa x:

• Dla x = 0: y = 2 · 0 - 1 = -1. Punkt: (0, -1)
• Dla x = 2: y = 2 · 2 - 1 = 3. Punkt: (2, 3)

Łączymy (0, -1) z (2, 3) linią prostą i mamy wykres.

Proste równoległe i prostopadłe

Współczynnik kierunkowy a decyduje o nachyleniu prostej. Dzięki niemu szybko poznajemy, czy dwie proste są równoległe lub prostopadłe.

Równoległe – ten sam współczynnik a

Dwie funkcje liniowe są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne a.

Przykład: y = 2x + 3 i y = 2x - 5 są równoległe, bo obie mają a = 2. Różnią się tylko wyrazem wolnym (przesunięciem góra/dół).

Prostopadłe – iloczyn a wynosi -1

Dwie funkcje liniowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1:

a₁ · a₂ = -1

Inaczej: a₂ = -1/a₁ – drugi współczynnik to odwrotność z przeciwnym znakiem.

Przykład: Funkcja y = 2x + 3 ma a = 2. Prostopadła do niej będzie miała a = -1/2. Np. y = -0,5x + 7.

Sprawdzenie: 2 · (-0,5) = -1 ✓

Wyznaczanie funkcji z dwóch punktów

Mając dwa punkty, możemy wyznaczyć dokładnie jedną funkcję liniową, która przez nie przechodzi. Wzór na współczynnik a to: a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).

Algorytm krok po kroku

1. Zapisz współrzędne obu punktów: A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂).
2. Oblicz a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
3. Podstaw a i jeden z punktów do wzoru y = ax + b.
4. Wyznacz b.
5. Zapisz wzór funkcji y = ax + b.

Przykład: funkcja przez (1, 5) i (3, 11)

Krok 1: A(1, 5) i B(3, 11).

Krok 2: a = (11 - 5) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.

Krok 3: Podstawiamy a = 3 i punkt A(1, 5) do wzoru y = 3x + b: 5 = 3 · 1 + b.

Krok 4: b = 5 - 3 = 2.

Krok 5: Funkcja to y = 3x + 2.

Sprawdzenie dla punktu B: y = 3 · 3 + 2 = 11 ✓

Równania z funkcjami liniowymi

Często musimy znaleźć, dla jakiego x dwie funkcje liniowe mają tę samą wartość. Geometrycznie szukamy punktu, w którym przecinają się ich wykresy.

Przykład

Znajdź punkt przecięcia funkcji f(x) = 2x + 1 i g(x) = -x + 7.

Krok 1: Przyrównujemy:

2x + 1 = -x + 7

Krok 2: Przenosimy x na jedną stronę, liczby na drugą:

2x + x = 7 - 1

3x = 6

Krok 3: Dzielimy:

x = 2

Krok 4: Liczymy y podstawiając do dowolnej funkcji:

y = 2 · 2 + 1 = 5

Punkt przecięcia: (2, 5).

Funkcja liniowa w zadaniach tekstowych

Zadania tekstowe z funkcją liniową spotkasz na każdym sprawdzianie. Klucz: rozpoznać, co jest "stałe" – po zapis problemu jako wyrażenie algebraiczne, decydujemy co jest stałe (wyraz wolny b), a co rośnie/maleje liniowo (współczynnik a).

Przykład 1: opłata za prąd

Rachunek za prąd wynosi 30 zł opłaty stałej + 0,80 zł za każdą zużytą kWh. Ile zapłacisz, jeśli zużyjesz 150 kWh?

Analiza:

• x = liczba zużytych kWh
• y = łączna kwota do zapłaty
• a = 0,80 (cena za 1 kWh)
• b = 30 (opłata stała)

Wzór: y = 0,80x + 30

Odpowiedź: Dla x = 150: y = 0,80 · 150 + 30 = 120 + 30 = 150 zł.

Przykład 2: temperatury

O godzinie 6:00 temperatura wynosiła -3°C i co godzinę rosła o 2°C. Jaka będzie temperatura o 14:00?

Analiza: Od 6:00 do 14:00 minie 8 godzin.

• x = liczba godzin od 6:00
• y = temperatura
• a = 2 (przyrost na godzinę)
• b = -3 (temperatura początkowa)

Wzór: y = 2x - 3

Odpowiedź: Dla x = 8: y = 2 · 8 - 3 = 13°C.

Najczęstsze błędy uczniów

Te błędy zabierają najwięcej punktów na sprawdzianach. Wystarczy ich świadomość, żeby ich uniknąć.

Błąd 1: pomyłka a z b

We wzorze y = 3x + 2 niektórzy mylą się: "a = 2, b = 3". Nie! a to liczba przy x, czyli a = 3. A b to liczba bez x, czyli b = 2.

Błąd 2: brak minusa w miejscu zerowym

Wzór to x = -b/a, nie x = b/a. Dla funkcji y = 2x + 6 miejsce zerowe to x = -6/2 = -3, a nie x = 6/2 = 3.

Błąd 3: zła kolejność przy liczeniu a

Wzór a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) wymaga zachowania tej samej kolejności w liczniku i mianowniku. Jeśli zmienisz: a = (y₂ - y₁)/(x₁ - x₂) – dostaniesz wynik z przeciwnym znakiem.

Błąd 4: prostopadłość ≠ przeciwne znaki

Funkcje y = 2x + 1 i y = -2x + 5 NIE są prostopadłe. Mają przeciwne znaki, ale 2 · (-2) = -4 ≠ -1. Prostopadłe to y = 2x + 1 i y = -1/2 x + 5.

FAQ – najczęstsze pytania o funkcję liniową