Układy równań.

Układ równań to dwa (lub więcej) równań z dwiema (lub więcej) niewiadomymi, które muszą być spełnione jednocześnie. Najczęściej spotykany w szkole to układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązuje się go trzema metodami: podstawiania, przeciwnych współczynników (eliminacji) oraz graficzną. W tym artykule pokażemy każdą metodę z przykładami i typowe zadania z egzaminu ósmoklasisty.

Co to jest układ równań?

Układ równań to zestaw równań, które muszą być spełnione w tym samym czasie. Najprostszy układ to:

{ 2x + y = 10
{ x - y = 2

Rozwiązaniem układu jest para liczb (x, y), która spełnia oba równania jednocześnie. Dla tego układu: x = 4, y = 2 (sprawdź: 2·4 + 2 = 10 ✓ i 4 - 2 = 2 ✓).

Rodzaje układów równań

Układ dwóch równań liniowych może mieć trzy typy rozwiązań, w zależności od współczynników:

W szkole najczęściej spotykane są układy oznaczone - jedna para liczb.

Metoda podstawiania (krok po kroku)

Najprostsza metoda. Wyznaczamy z jednego równania jedną niewiadomą i podstawiamy do drugiego.

Przykład:

{ x + y = 7
{ 2x - y = 5

Krok 1: Z pierwszego równania wyznaczamy y:

x + y = 7 ⟹ y = 7 - x

Krok 2: Podstawiamy y = 7 - x do drugiego równania:

2x - (7 - x) = 5

2x - 7 + x = 5

3x = 12

x = 4

Krok 3: Wracamy do wzoru y = 7 - x i podstawiamy x = 4:

y = 7 - 4 = 3

Sprawdzenie: 4 + 3 = 7 ✓ oraz 2·4 - 3 = 5 ✓

Rozwiązanie: (x, y) = (4, 3)

Metoda przeciwnych współczynników (eliminacja)

Dodajemy lub odejmujemy równania tak, żeby jedna z niewiadomych się skrócila. Najprostsza gdy współczynniki są już przeciwne lub równe.

Przykład:

{ 3x + 2y = 16
{ 5x - 2y = 8

Krok 1: Współczynniki przy y są przeciwne (+2 i -2). Dodajemy równania stronami:

(3x + 2y) + (5x - 2y) = 16 + 8

8x = 24

x = 3

Krok 2: Podstawiamy x = 3 do pierwszego równania:

3·3 + 2y = 16

9 + 2y = 16

2y = 7

y = 3,5

Sprawdzenie: 3·3 + 2·3,5 = 16 ✓ oraz 5·3 - 2·3,5 = 8 ✓

Rozwiązanie: (x, y) = (3; 3,5)

Kiedy używać której metody?

Zadania tekstowe z układami równań

Na egzaminie najczęściej trafiają się zadania tekstowe, gdzie trzeba ułożyć układ równań samodzielnie.

Przykład: "W kinie sprzedano 80 biletów na łączną kwotę 1600 zł. Bilet normalny kosztuje 25 zł, ulgowy 15 zł. Ile sprzedano biletów każdego rodzaju?"

Krok 1: Oznaczamy niewiadome:

• x = liczba biletów normalnych
• y = liczba biletów ulgowych

Krok 2: Układamy równania:

{ x + y = 80           (łączna liczba biletów)
{ 25x + 15y = 1600     (łączny przychód)

Krok 3: Rozwiązujemy metodą podstawiania:

Z pierwszego: y = 80 - x

Podstawiamy: 25x + 15(80 - x) = 1600

25x + 1200 - 15x = 1600

10x = 400 ⟹ x = 40

y = 80 - 40 = 40

Odpowiedź: Sprzedano 40 biletów normalnych i 40 biletów ulgowych.

Najczęstsze błędy

1. Zapomnienie sprawdzenia. Zawsze podstawiaj wynik do OBU równań - błędy są częste.
2. Błąd przy mnożeniu nawiasów. -3(2x + 5) = -6x - 15, nie -6x + 15
3. Mylenie znaków przy odejmowaniu równań. (3x + 2y) - (x + 2y) = 2x, nie 4x
4. W zadaniu tekstowym pomylenie zmiennych. Zawsze zapisz słownie co oznacza x i y
5. Niesprawdzenie czy odpowiedź ma sens. Liczba biletów ujemna lub ułamkowa to błąd

Typowe zadania na egzaminie ósmoklasisty

Układy równań pojawiają się regularnie na egzaminie ósmoklasisty CKE. Najczęstsze typy:

• Zadanie tekstowe z dwiema wielkościami: bilety, owoce, godziny pracy, mieszanki
• Rozwiąż układ: bezpośrednio, sprawdź metodę podstawiania lub eliminacji
• Sprawdź czy para (x,y) jest rozwiązaniem: po prostu podstaw i sprawdź
• Dla jakich m układ ma jedno rozwiązanie?: warunek na proste niesryslicze

Po opanowaniu układów równań warto przejść do funkcji liniowej - tematy są ze sobą powiązane (układ to przecięcie dwóch prostych).

FAQ: układy równań

Powiązane tematy: Funkcja liniowa · Wyrażenia algebraiczne · Równanie kwadratowe · Baza wiedzy